Александр Чуб родился 28 апреля 1966 г. в городе Запорожье. В 1989 г. окончил факультет микроприборов и технической кибернетики Московского института электронной техники, затем – аспирантуру этого же вуза, в 1991 г. - Школу международного бизнеса МГИМО. В 1989-1991 гг. работал инженером лаборатории вычислительных систем МИЭТа. В 1991-1992 гг. трудился директором малого предприятия, занимавшегося разработкой и продажей программного обеспечения. В 1992-1993 гг. работал коммерческим представителем компании Bull S.A. в России. В 1994 г. стал менеджером по корпоративным продажам в российском представительстве корпорации Hewlett-Packard, а в 1995 г. - управляющим директором HP по странам СНГ (кроме России) и Монголии. В 2001-2002 гг. был гендиректором представительства компании Bull S.A. В 2002 г. назначен главой представительства и генеральным менеджером в России компании Dell. С сентября 2005 г. работал региональным менеджером американской компании 3Com в России и СНГ. После интеграции Hewlett-Packard и 3Com в 2010 г. занял должность директора департамента сетевых решений НР в России.
Александр Чуб из российского представительства HP возглавил в сентябре 2012 года ОАО "Навигационно-информационные системы" (НИС). Контракт его предшественника [Персона:Гурко_Александр_Олегович|Александра Гурко] истек, он продолжит трудиться в должности президента некоммерческого партнерства по развитию ГЛОНАСС, оставаясь при этом в совете директоров НИС. В феврале 2014 года Совет директоров компании «Навигационные информационные системы» (НИС ГЛОНАСС) избрал нового гендиректора. Как сообщили CNews трое источников, знакомых с ситуацией, им стал Федор Бармин. Александр Чуб, по словам собеседников CNews, станет вице-президентом «Ситроникса».
В июне 2015 года Александр Чуб стал президентом Группы компаний «Русские Башни». Данная новая должность была создана с целью поддержания дальнейшего роста «Русских Башен», по мере того как Группа продолжает укреплять свое ведущее положение на быстроразвивающемся рынке независимой телекоммуникационной инфраструктуры России.