Высшее образование Козырев получил в РЭА им. Г.В. Плеханова по специальности «Банковское дело».
С 1998 по 2001 годы отвечал за управление продажами розничных банковских продуктов в КБ «Первое ОВК».
С 2001 по 2004 годы работал начальником управления развития удаленных каналов дистрибуции «Альфа-Банка», где занимался созданием и развитием телефонного центра и интернет-банка.
С 2004 по ноябрь 2012 года работал заместителем генерального директора коллекторского агентства «Секвойя Кредит Консолидейшн», параллельно с 2006 года являлся гендиректором компании «ЭсСиСи Эссетс Менеджмент», входящей в группу «Секвойя Кредит Консолидейшн»[1].
12 ноября 2012 года Козырев вышел на работу в Минкомсвязи в должности директора департамента развития электронного правительства. Данный департамент возник в связи с переименованием департамента госполитики в области создания и развития электронного правительства, существовавшего в прежней структуре Минкомсвязи. Его возглавлял Андрей Липов.
Одновременно с департаментом по развитию электронного правительства Козырев возглавил также проектный офис системы межведомственного электронного взаимодействия (СМЭВ), незадолго до этого созданный в Минкомсвязи.
В октябре 2013 года председатель правительства Дмитрий Медведев назначил Алексея Козырева заместителем министра связи и массовых коммуникаций (Николая Никифорова).
В Минкомсвязи говорили, что в своей новой должности Козырев продолжит заниматься вопросами электронного правительства. Данная сфера осталась без курирующего замминистра после того, как летом 2013 года замглавы Минкомсвязи Денис Свердлов покинул свой пост.
Алексей Козырев - член команды Дениса Свердлова, и он продолжит начатые Свердловым реформы, отмечали в Минкомсвязи[2].
В июне 2014 года издание CNews включило Алексея Казырева в команду "Казанские итэшники"- группу чиновников, бизнесменов и топ-менеджеров, сформировавшуюся внутри и вокруг Минкомсвязи.
Первая версия команды (июнь 2014 года)
Вторая версия (декабрь 2014 года)
В июне 2015 года Алексей Козырев дал интервью TAdviser, в котором рассказал о новом этапе развития электронного правительства.