В 1976 году окончил Томский институт автоматизированных систем управления и радиоэлектроники по специальности "физическая электроника".
В 1976–1981 гг. работал на Братского ордена Ленина алюминиевом заводе инженером-электроником, затем в течение пяти лет - старшим инженером в «Уралцветметавтоматике».
В 1993 году Юрий Торгашин занял должность заместителя директора в «Цветметавтоматике».
С 1997 по 2002 год работал управляющим Братским отделением ЗАО «Корпорация Северная Корона».
В 2002 году несколько месяцев проработал также замом директора ЗАО «Промавтоматика» в Братске, после чего перешел на должность исполнительного директора в ЗАО «ЭлеСи» в Томске.
В 2003 году Торгашин занял должность директора департамента по Ханты-Мансийскому автономному округу – Югре в ООО «ПраймГруп».
С 2004 года работал начальником административного управления, начальник административно-хозяйственного отдела в ЗАО «Ермак RMS».
В 2006-2011 гг. занимал должность замдиректора – начальника Управления связи и телевидения Департамента транспорта, связи Ханты-Мансийского автономного округа – Югры, а с 2011 года - замдиректора регионального Департамента – начальника Управления телекоммуникаций, связи и телерадиовещания Департамента информационных технологий.
В марте 2015 года был назначен на должность первого заместителя директора Департамента ИТ Ханты-Мансийского автономного округа – Югры.
В сентябре 2015 года директор этого департамента Андрей Бородин оставил своей пост в связи с назначением на должность первого заместителя министра государственного управления, ИТ и связи Московской области, после чего Юрий Торгашин занял должность и.о. директора департамента.